《逻辑与形而上学教科书系列：作为哲学的数理逻辑》是一本引人深思的书。它通过数理逻辑的角度，解析了哲学中的形而上学问题。作者深入浅出地阐述了逻辑与形而上学的关系，使读者对哲学的本质有了更深入的理解。这本书让我重新审视了哲学的重要性，并提供了一种新的思考方式。
逻辑与形而上学教科书系列：作为哲学的数理逻辑读后感第一篇
当我们谈论机械过程时，我们实际谈论的是进行算术运算的机械过程
是不是凡是能被精确表达的问题或函数都能被能行地解决
首先，一个能行的或机械的过程必须仅依赖一组有穷的指令集，每条指令也必须是有穷的。正如一个计算器就其基本单元的数量而言，一个计算机程序就其本身所含字符数而言是有穷的。否则，即如果我们允许无穷指令集的话，对任何函数，我们只需要把它全部信息（每组输入对应的输出）写入指令集，那么该指令集就成为可以计算该函数的过程了。而这显然不符合我们关于能行或机械过程的直观
其次，当我们说一个方法或过程能行地计算某个函数时，我们要求对任何一组输入这个方法都能在可识别的有穷步内得到期望的结果。或许有人会指出，某个机械过程可以每一步都有一个临时的输出并逐渐逼近期望的结果，或者说它每一步输出的极限就是期望的结果。但这里所考虑的是自然数上的运算，一个无穷的自然数序列有极限当且它在有穷步内就收敛了。所以，期望的结果要么通过该方法在有穷步内就能得到，要么该方法在这组输入下无法得到期望的结果因而无法能行地计算目标函数
再次，能行或机械的方法只需严格按照其指令集运行即可保证成功，而不依赖任何洞见或灵机一动
能行方法原则上能有一个人在不借助纸笔以外工具的情况下独立完成。这里的“原则上”是指抽象掉一些具体的生理或物理上的限制，如人类的寿命、全世界木材总量、宇宙物质总量等。这里有关的只是人类进行计算的那种能力，或者说是亚里士多德所说的那种名为心灵的灵魂，也即一种形式。
一个陈述是分析的，当且仅当它仅仅凭借其意义而真，而不依赖与事实。
类似的，奎因指出如果我们能够清晰地定义什么是同义的，那么也就可以定义什么是“意义”乃至什么是“分析的”了。例如，一个词项的意义可以被定义为所有与其同义的词项组成的等价类；而一个陈述是分析的，当且仅当在对其词项进行同义替换后能够得到一个逻辑真。这里，奎因区分了两类所谓的分析命题，一种是逻辑真，如：未结婚的没有结婚。它不依赖逻辑词项以外词项的解释，是逻辑真；而另一种例如：单身汉没有结婚。则需要通过对其中词项进行同义替换，成为逻辑真，才能被认为是分析的。
早期分析哲学的方法一般指逻辑分析和概念分析。逻辑分析一般是指用形式语言重新书写目标命题或论述，以揭示其中被遮蔽的结构。而概念分析往往是将目标概念分解为更简单明确的其他概念，其结果往往是目标概念的一个定义。
阿那克西曼德认为可以被认识的时间万物都起始于无穷又复归于无穷。如果时空起源于无穷亦终结于无穷，那么无穷本身不是时空之中的。因此，无穷本身没有始终，无法被度量或认识。
无穷是模糊的、不确定的，是仅可以被体验而无法被理性认知的。因此，“无穷不可理解”似乎从一开始就是分析的真。人们将一切不可理解的、无法度量的称作无穷。而反过来，试图理解无穷就是试图理解哪些被认为不可理解东西。换句话说，就是试图拓展理性的边界。这个意义上，无穷也是一个终极的哲学概念。
逻辑与形而上学教科书系列：作为哲学的数理逻辑读后感第二篇
这是一本讲数理逻辑，顺便讲了讲分析哲学的书。书中第一章回顾了数理逻辑和分析哲学的发展历程，从二者的诞生与联合，讲到了二者的分道扬镳，然后又讲到了现在。数理逻辑和早期的分析哲学致力于为人类语言建议一种理想的统一框架。但这个宏伟计划被一再证明是不可能完成的。当哥德尔不完备性定理被证明后，分析哲学和数理逻辑走上了各自的发展道路。分析哲学中后期转向了 自然语言哲学。自然语言哲学指出了早期理想语言分析哲学的缺陷，并提倡回归自然语言，认为自然语言本身的意义就是明确的，不需要特别澄清。但自然语言转向后的分析哲学，越来越像一个口号。只是单纯强调其主张，很少去探讨自然语言这些自明的结构或意义到底有怎样的细节。从这个角度来看，自然语言转向后的分析哲学其实是对早期分析哲学的一种偏离。近来虽然有一些改变分析哲学现状的尝试，但重新重视数理逻辑的选项似乎并不在其中。
而数理逻辑的发展则要务实得多。虽然数理逻辑上个世纪后半页的产出并没有满足人们狂热的期望，但是产出却不可谓不多。这本书接下来的三章就对哥德尔不完备性定理之后的数理逻辑重要进展做了大致的介绍。
书中第二章介绍的是递归论的发展。递归论在完成了对“计算”的建模之后，递归论的一大进展就是对“随机”的刻画。据书中的介绍，“随机”和“变动”、“不确定”似乎并不能划等号。例如现在问读者圆周率的第 1000 位。这个数显然是个常数，但由于大部分读者没有算过，所以不知道这个数。此时如果读者猜一个数，那么对于读者来说这个数就是随机的，猜对的概率则是十分之一。所以，随机不一定是客观上不确定的，而是对于观测者来说凭借已有信息计算不出来的。
第三章是对模型论的介绍。在对 ZFC 系统进行研究后，人们提出了一系列的模型。对这些模型的系统化研究构成了模型论目前的主要内容。模型之间则通过相对一致性进行进行关联。这样，就建立了一种以模型为基本元素的代数。在此基础上，本书第三章还稍微介绍了脱殊扩张和力迫法。
第四章讲的是集合论。集合论主要探讨集合公理的选择及其后果。这本书中讲的集合论主要是一些与大基数相关的研究。需要注意的是，这里的大基数不是有限上的大，而是在比较无穷基数时仍然比较大的基数。
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逻辑与形而上学教科书系列：作为哲学的数理逻辑读后感第三篇
王浩曾将自己关于数学基础的史稿交给Quine看，得到的批评是：“你不懂是给谁写的，有的部分很浅，有的又很深。”（见《王浩来信摘抄》）杨老师这本书也同样是一本不知为谁而写的书。第一章关于二者的合纵与分流写得挥洒自如，没有任何基础的读者也可以将其作为一部简短有力的早期分析哲学发展史来读，一边慨叹二者的分离，一边期待作者接下来怎么讲述“从事数理逻辑就是从事哲学！”这个激动人心的命题。可他们的阅读也往往到此为止了。
从第二章开始作者的写作就陷入了怪圈，为了具有不同背景的读者，或者至少让本书做到自足，作者不得不以极为缩略的方式补充大量定义与定理，对于熟悉这些内容的读者来说完全就是定理的堆砌，反之则没有初学者可能从这样简略的描述中真正理解一个概念。我并没有暗示存在两种读者，一种“有很好的数理基础”，另一种没有。正相反，这本书的读者大多是在可证性、集合论、递归论、证明论中的某几个方面具备很好的训练的，对他们来说阅读体验就更加奇怪了：对于那些本已熟悉的部分，看到的是乏味的重述之间偶然有一些哲学评注——这些哲学内容他们往往也早已了然于胸了，对于那些不太熟悉的部分，同样不能很好地把握，还得时刻提防这种粗略的阅读给自己一种理解了的错觉。在作者本人最关心、最专业的第四部分，这种现象发展到了极致，一些内容对于一个从事数理逻辑但不在集合论这一领域的读者来说都很可能是陌生且确实不必要了解的。
原因无他，要掌握一个技术成果背后的动因与哲学意义与掌握其技术细节是同一个过程，作者引用的Cohen关于力迫法的评论恰好说明了这一点：不理解力迫背后的动因与哲学考量，这一标准的技术工具看起来就可能是古怪的；反过来不是亲自学过一些力迫初步，也不可能理解其背后非技术性的内容。
抛开写作上的问题，书中要论证的主题也是值得重新考量的。很显然的是，作者并不是在重复“（至少是分析）哲学家一定要加强数理逻辑训练”或者“数理逻辑在分析哲学中的地位渐渐式微了”这种陈词滥调式的哀叹，而是强调数理逻辑研究其本身所具有的哲学意义——无论是其早期起源还是当下进展中的工作，从事数理逻辑（至少是某些领域）本身就是最符合“哲学”这个词的工作！
这样一种论述也一开始就将自己限制在了一个狭小的范围内，对于数理逻辑，或至少是作者关心的大基数与内模型领域的哲学意义，恐怕没有人会反对，可是然后呢，这与其它哲学工作者的研究有什么关系呢？或者说，这一事实在何种程度上能作为哲学工作者去学习数理逻辑的理由呢？且不说思想史、政治哲学、伦理学这些学科无论从研究对象还是方法上都是完全异质的，只是偶然被放在了同一个建制（“哲学”系）下而已。即使对貌似亲缘更近的主流分析哲学、科学哲学来说，数理逻辑在其中地位的衰退也绝非偶然的。一个优秀的科学哲学家（说出这个词时，我想到的其实是马赫、庞加莱）很像作者在书中推崇，自己也努力在成为的那种学者——他们勇于学习任何知识，不惧怕艰难与挑战，活跃在学科的边界之间，力图回答关于方法论与元预设的问题，乃至提出纲领性的问题。但科学哲学上有多少只靠或者主要靠“逻辑分析”取得的重大成果？无论是语法式的还是语义式（我在这里规避“模型”这个有歧义的用语）的重构有多大价值？科学哲学家们的工具不仅是元数学，更是数学本身，他们要去理解实际的科学理论，要亲自去建构模型，数理逻辑在这里的作用并不比数学的任何一个分支，尤其是概率、统计以及拓扑更重要。
实验科学的工作者闲聊时常常会感慨自己数理基础不好，这种感受部分是确有其事，部分则暗含一种幻想式的数理崇拜：具有坚实的数理能力会让很多问题迎刃而解，而这往往并不是真的，去大量学习基础数理（而且在没有确定的问题的情况下究竟该学什么呢？数学知识可是一辈子也学不完的！）并不会对具体的工作有决定性的影响。一种“哲学家都应该学学数理逻辑”的论调与这种幻想是同构的，中国大陆很多哲学工作者水平之低劣确实到了必须从头恶补功课的地步，但我看不出数理逻辑在其中的特殊地位。
作者不满于数理逻辑目前的地位：哲学家对其敬而远之，数学家则将其视为被主流边缘化的狭小分支。我也曾在多个场合听到过数学系的教授对逻辑的刻薄评价，我以为那些评论恐怕是难称公正的。在中国大陆逻辑学还有另一层尴尬：它被划分为哲学而不是数学的二级学科，只能作为哲学系下一个规模很小的，甚至在很多高校是为了承担“普通逻辑”教学任务的存在。北大数院没有专门从事逻辑研究的教师，这从一开始就让学生失去了接触逻辑的机会。我常常想，如果逻辑学能放在数院，甚至是信科下面，每年有机会吸引到几个最优秀的、对基础问题感兴趣的学生，事情就会大不一样。
作者希望哲学工作者能通过这本书了解数理逻辑，并发出“嘿，这不就是哲学吗？”的感慨，但他们既不可能从这本书中真正学到什么，也根本没有必要去学。最合适的读者恐怕恰好相反——是那些具有很好的数学成熟度，但还没有明确自己的兴趣方向，对基础问题感兴趣但在数学系没有接触机会的学生。若有这样的读者读完后惊呼“嘿，原来数学还有这样的一个分支。”“啊啊，这正是我愿意投入毕生精力去从事的事业！”，我想杨老师的目的也就真正达到了。
